MATLAB 集成（Integration）

積分は本質的に異なる二つの問題を処理します。

• 第一種では、関数の導数が与えられ、関数を求めたい場合があります。したがって、分化のプロセスを根本的に逆転させます。この逆転プロセスは反微分と呼ばれ、元の関数を見つけるか、indefinite integral。

• 第二種の問題は、非常に小さい量を多く足し合わせ、その量が0に近づくにつれて限界を取り、項の数が無限大に近づくことを含みます。このプロセスが導く定義definite integral。

定积分は面積、体積、重心、惯性矩、力が成す仕事など、多くの応用で使用されます。

MATLABで不定積分を検索する

定義によると、もし関数の導数f(x)がf'(x)ならば、f'(x)がxに対する不定積分はf(x)と呼ばれます。例えば、x ²の導数（xに対して）は2x、したがって言える2xの不定積分はx ²。

記号の中で-

f'(x²) = 2x、だから、

∫ 2xdx = x².

不定積分はユニークではありません。なぜなら、定数cの値に関わらず、x ² + cの微分もまた2x。

これは記号で表されます-

∫ 2xdx = x² + c。

ここで、cは「任意の定数」と呼ばれます。

MATLABは提供していますint表現式の積分を計算するコマンドです。関数の不定積分の表現式を導出するために、以下のように書きます：

int(f);

たとえば、前の例では-

syms　x　
int(2*x)

MATLABが上記の命令を実行し、以下の結果を返します-

ans　=
　　　x^2

例1

この例では、一般的な表現式の積分を見つけましょう。スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します-

syms　x　n
int(sym(x^n))
f　=　'sin(n*t)'
int(sym(f))
syms　a　t
int(a*cos(pi*t))
int(a^x)

ファイルを実行すると、以下の結果が表示されます-

ans　=
　　　piecewise([n　==　-1,　log(x)],　[n　~=　-1,　x^(n　+　1)/(n　+　1)])
f　=
sin(n*t)
ans　=
　　　-cos(n*t)/n
　　　ans　=
　　　(a*sin(pi*t))/pi
　　　ans　=
　　　a^x/log(a)

例2

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します-

syms　x　n
int(cos(x))
int(exp(x))
int(log(x))
int(x^-1)
int(x^5*cos(5*x))
pretty(int(x^5*cos(5*x)))
int(x^-5)
int(sec(x)^2)
pretty(int(1　-　10*x　+　9　*　x^2))
int((3　+　5*x　-6*x^2　-　7*x^3)/2*x^2)
pretty(int((3　+　5*x　-6*x^2　-　7*x^3)/2*x^2))

注意してください、pretty関数はより読みやすい形式で式を返します。

ファイルを実行すると、以下の結果が表示されます-

ans　=
　　　sin(x)
　
ans　=
　　　exp(x)
　
ans　=
　　　x*(log(x)　-　1)
　
ans　=
　　　log(x)
　
ans　=
(24*cos(5*x))/3125　+　(24*x*sin(5*x))/625　-　(12*x^2*cos(5*x))/125　+　(x^4*cos(5*x))/5　-　(4*x^3*sin(5*x))/25　+　(x^5*sin(5*x))/5
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　　　　　　　　　　　　　4　
　　　24　cos(5　x)　　　24　x　sin(5　x)　　　12　x　　cos(5　x)　　　x　　cos(5　x)　
　　　-----------　+　-------------　-　--------------　+　------------　
　　　　　　3125　　　　　　　　　　　　625　　　　　　　　　　　　　125　　　　　　　　　　　　　　5　
　　　
　　　　　　　　3　　　　　　　　　　　　　5　
　
　　　4　x　　sin(5　x)　　　x　　sin(5　x)　
　　　-------------　+　-----------　
　　　　　　　　　25　　　　　　　　　　　　　　5
　
ans　=
-1/(4*x^4)
　
ans　=
tan(x)
　　　　　　　　2　
　　x　(3　x　　-　5　x　+　1)
　
ans　=　
-　(7*x^6)/12　-　(3*x^5)/5　+　(5*x^4)/8　+　x^3/2
　
　　　　　　6　　　　　　5　　　　　　4　　　　3　
　　　　7　x　　　　3　x　　　　5　x　　　　x　
　　-　----　-　----　+　----　+　--　
　　　　　12　　　　　5　　　　　　8　　　　　2

MATLABを使用して定積分を探す

定義に従って、定積分は基本的には和の限界です。私たちは定積分を使用して面積を探します、たとえば曲線とx軸の間の面積や二つの曲線の間の面積などです。他の状況でも定積分が使用できます。その場合、必要な量は和の限界で表されます。

int積分の限界を渡すことで、この関数は積分を決定するために使用できます。

計算

以下のように書きます：

int(x,　a,　b)

たとえば、値を計算するために、以下のように書きます：

int(x,　4,　9)

MATLABが上記の命令を実行し、以下の結果を返します-

ans　=
　　　65/2

以下は上述計算のOctave同等-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
f　=　x;
c　=　[1,　0];
integral　=　polyint(c);
a　=　polyval(integral,　9)　-　polyval(integral,　4);
disp('面積:　'),　disp(double(a));

Octaveがコードを実行し、以下の結果を返します-

面積:　
　　　32.500

quad() Octaveが提供する機能を使用して、以下のように代替解決策を提供できます：

pkg　load　symbolic
symbols
f　=　inline("x");
[a,　ierror,　nfneval]　=　quad(f,　4,　9);
disp('面積:　'),　disp(double(a));

Octaveがコードを実行し、以下の結果を返します-

面積:　
　　　32.500

例1

x軸と曲線y = xについて計算を行いましょう ³ -2x + 5そして縦座標x = 1およびx = 2囲まれた面積。

必要な面積は以下の式で与えられます：

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します-

f　=　x^3　-　2*x　+5;
a　=　int(f,　1,　2)
disp('面積:　'),　disp(double(a));

ファイルを実行すると、以下の結果が表示されます-

a　=
23/4
面積:　
　　　5.7500

以下は上述計算のOctave同等-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
f　=　x^3　-　2*x　+5;
c　=　[1,　0,　-2,　5];
integral　=　polyint(c);
a　=　polyval(integral,　2)　-　polyval(integral,　1);
disp('面積:　'),　disp(double(a));

Octaveがコードを実行し、以下の結果を返します-

面積:　
　　　5.7500

quad() Octaveが提供する機能を使用して、以下のように代替解決策を提供できます：

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
f　=　inline("x^3　-　2*x　+5");
[a,　ierror,　nfneval]　=　quad(f,　1,　2);
disp('面積:　'),　disp(double(a));

Octaveがコードを実行し、以下の結果を返します-

面積:　
　　　5.7500

例2

曲線の下の面積を見つけます：　f(x)= x ² cos(x)は−を表します4≤x≤9。

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを記述します-

f　=　x^2*cos(x);
ezplot(f,　[-4,9])
a　=　int(f,　-4,　9)
disp('面積:　'),　disp(double(a));

ファイルを実行すると、MATLABがグラフを描画します-

以下の結果が表示されます-

a　=　
8*cos(4)　+　18*cos(9)　+　14*sin(4)　+　79*sin(9)
　
面積:　
　　　0.3326

以下は上述計算のOctave同等-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
f　=　inline("x^2*cos(x)");
ezplot(f,　[-4,9])
print　-deps　graph.eps
[a,　ierror,　nfneval]　=　quad(f,　-4,　9);
disp('面積:　'),　disp(double(a));