MATLAB 微分

MATLABはdiff符号微分を計算するコマンドです。最もシンプルな形式では、diffコマンドに微分する関数を引数として渡します。

例えば、関数の微分f(t)を計算するために、 3t ² + 2t ^-2

オンラインサンプル

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します-

syms　t
f　=　3*t^2　+　2*t^(-2);
diff(f)

上記のコードをコンパイルして実行すると、以下の結果が得られます-

ans　=
6*t　-　4/t^3

以下は上述計算のOctave相当-

pkg　load　symbolic
symbols
t　=　sym("t");
f　=　3*t^2　+　2*t^(-2);
differentiate(f,t)

Octaveを実行コードとして実行し、以下の結果を返します-

ans　=
　　　-(4.0)*t^(-3.0)+(6.0)*t

基本規則の確認

以下に一階微分をf'(x)、二階微分をf“(x)”と書きます。これらの規則を簡単に説明し、これらの規則を確認します。

以下は区別の規則です-

規則1

どんな関数fとgおよびどんな実数aとbがこの関数の微分である-

h(x) = af(x) + bg(x) xに関する-

h'(x) = af'(x) + bg'(x)

規則2

sumおよびsubtraction規則は、fとgが2つの関数であれば、f’とg’はそれぞれその微分であると仮定して、

（f + g)' = f' + g'

(f - g)' = f' - g'

規則3

product規則は、fとgが2つの関数であれば、f'とg'はそれぞれその微分であると仮定して、

(f.g)' = f'.g + g'.f

規則4

quotient規則は、fとgが2つの関数であれば、f'とg'はそれぞれその微分であると仮定して、

(f/g)' = (f'.g - g'.f)/g²

規則5

polynomialまたは基本的なパワーの規則は、y = f(x) = xⁿf' = n. x^(n-1)

この規則の直接的な結果は、どんな定数の微分も0であることです、すなわち、y = k、どんな定数でも、

f' = 0

規則6

chain規則は、xに対して関数の関数の微分は次の通りです：h(x) = f(g(x))

h'(x)= f'(g(x)).g'(x)

例

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します-

syms　x
syms　t
f　=　(x　+　2)*(x^2　+　3)
der1　=　diff(f)
f　=　(t^2　+　3)*(sqrt(t)　+　t^3)
der2　=　diff(f)
f　=　(x^2　-　2*x　+　1)*(3*x^3　-　5*x^2　+　2)
der3　=　diff(f)
f　=　(2*x^2　+　3*x)/(x^3　+　1)
der4　=　diff(f)
f　=　(x^2　+　1))^17
der5　=　diff(f)
f　=　(t^3　+　3*　t^2　+　5*t　-9))^(-6)
der6　=　diff(f)

ファイルを実行すると、MATLABは以下の結果を表示します-

f　=
　　　(x^2　+　3)*(x　+　2)
　
　　　der1　=
　　　2*x*(x　+　2)　+　x^2　+　3
　　
f　=
　　　(t^(1/2)　+　t^3)*(t^2　+　3)
　
　　　der2　=
　　　(t^2　+　3)*(3*t^2　+　1/(2*t^(1/2))　+　2*t*(t^(1/2)　+　t^3)
　　
f　=
　　　(x^2　-　2*x　+　1)*(3*x^3　-　5*x^2　+　2)
　　
der3　=
　　　(2*x　-　2)*(3*x^3　-　5*x^2　+　2)　-　(-　9*x^2　+　10*x)*(x^2　-　2*x　+　1)
　
f　=
　　　(2*x^2　+　3*x)/(x^3　+　1)
　　
der4　=
　　　(4*x　+　3)/(x^3　+　1)　-　(3*x^2*(2*x^2　+　3*x))/(x^3　+　1))^2
　　
f　=
　　　(x^2　+　1))^17
　　
der5　=
　　　34*x*(x^2　+　1))^16
　　
f　=
　　　1/(t^3　+　3*t^2　+　5*t　-　9))^6
　　
der6　=
　　　-(6*(3*t^2　+　6*t　+　5))/(t^3　+　3*t^2　+　5*t　-　9))^7

以下は上述計算のOctave相当-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
t　=　sym("t");
f　=　(x　+　2)*(x^2　+　3)　
der1　=　differentiate(f,x)　
f　=　(t^2　+　3)*(t^(1/2)　+　t^3)　
der2　=　differentiate(f,t)　
f　=　(x^2　-　2*x　+　1)*(3*x^3　-　5*x^2　+　2)　
der3　=　differentiate(f,x)　
f　=　(2*x^2　+　3*x)/(x^3　+　1)　
der4　=　differentiate(f,x)　
f　=　(x^2　+　1))^17　
der5　=　differentiate(f,x)　
f　=　(t^3　+　3*　t^2　+　5*t　-9))^(-6)　
der6　=　differentiate(f,t)

Octaveを実行コードとして実行し、以下の結果を返します-

f　=
(2.0+x)*(3.0+x^(2.0))
der1　=
3.0+x^(2.0)+(2.0)*(2.0+x)*x
f　=
(t^(3.0)+sqrt(t))*(3.0+t^(2.0))
der2　=
(2.0)*(t^(3.0)+sqrt(t))*t+((3.0)*t^(2.0)+(0.5)*t^(-0.5))*(3.0+t^(2.0))
f　=
(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))
der3　=
(-2.0+(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))+((9.0)*x^(2.0)-(10.0)*x)*(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)
f　=
(1.0+x^(3.0))^(-1)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
der4　=
(1.0+x^(3.0))^(-1)*(3.0+(4.0)*x)-(3.0)*(1.0+x^(3.0))^(-2)*x^(2.0)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
f　=
(1.0+x^(2.0))^(17.0)
der5　=
(34.0)*(1.0+x^(2.0))^(16.0)*x
f　=
(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-6.0)
der6　=
-(6.0)*(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-7.0)*(5.0+(3.0)*t^(2.0)+(6.0)*t)

指数、対数および三角関数の微分

以下の表は、常用の指数、対数および三角関数の微分を提供しています-

例

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します-

syms　x
y = exp(x)
diff(y)
y = x^9
diff(y)
y = sin(x)
diff(y)
y = tan(x)
diff(y)
y = cos(x)
diff(y)
y = log(x)
diff(y)
y = log10(x)
diff(y)
y = sin(x)^2
diff(y)
y = cos(3*x^2　+　2*x　+　1)
diff(y)
y = exp(x)/sin(x)
diff(y)

ファイルを実行すると、MATLABは以下の結果を表示します-

y　=
　　　exp(x)
　　　ans　=
　　　exp(x)
y　=
　　　x^9
　　　ans　=
　　　9*x^8
　　
y　=
　　　sin(x)
　　　ans　=
　　　cos(x)
　　
y　=
　　　tan(x)
　　　ans　=
　　　tan(x)^2　+　1
　
y　=
　　　cos(x)
　　　ans　=
　　　-sin(x)
　　
y　=
　　　log(x)
　　　ans　=
　　　1/x
　　
y　=
　　　log(x)/log(10)
　　　ans　=
　　　1/(x*log(10))
　
y　=
　　　sin(x)^2
　　　ans　=
　　　2*cos(x)*sin(x)
　
y　=
　　　cos(3*x^2　+　2*x　+　1)
　　　ans　=
　　　-sin(3*x^2　+　2*x　+　1)*(6*x　+　2)
　　
y　=
　　　exp(x)/sin(x)
　　　ans　=
　　　exp(x)/sin(x)　-　(exp(x)*cos(x))/sin(x)^2

以下は上述計算のOctave相当-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
y = Exp(x)
differentiate(y,x)
y = x^9
differentiate(y,x)
y = Sin(x)
differentiate(y,x)
y = Tan(x)
differentiate(y,x)
y = Cos(x)
differentiate(y,x)
y = Log(x)
differentiate(y,x)
% symbolicパッケージはこの機能をサポートしていません
%y = Log10(x)
%differentiate(y,x)
y = Sin(x)^2
differentiate(y,x)
y = Cos(3*x^2　+　2*x　+　1)
differentiate(y,x)
y = Exp(x)/Sin(x)
differentiate(y,x)

Octaveを実行コードとして実行し、以下の結果を返します-

y　=
exp(x)
ans　=
exp(x)
y　=
x^(9.0)
ans　=
(9.0)*x^(8.0)
y　=
sin(x)
ans　=
cos(x)
y　=
tan(x)
ans　=
1+tan(x)^2
y　=
cos(x)
ans　=
-sin(x)
y　=
log(x)
ans　=
x^(-1)
y　=
sin(x)^(2.0)
ans　=
(2.0)*sin(x)*cos(x)
y　=
cos(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
ans　=
-(2.0+(6.0)*x)*sin(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
y　=
sin(x)^(-1)*exp(x)
ans　=
sin(x)^(-1)*exp(x)-sin(x)^(-2)*cos(x)*exp(x)

高階導数を計算します

関数 f の高階導数を計算するために、次の構文を使用しますdiff(f,n)。

函数 y = f(x) = x の二階導数を計算します.e ^-3x

f = x*exp(-3*x);
diff(f,　2)

MATLABがコードを実行し以下の結果を返します-

ans　=
9*x*exp(-3*x)　-　6*exp(-3*x)

以下は上述計算のOctave相当-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
f = x*Exp(-3*x);
differentiate(f, x,　2)

Octaveを実行コードとして実行し、以下の結果を返します-

ans　=
(9.0)*exp(-(3.0)*x)*x-(6.0)*exp(-(3.0)*x)

例

この例では、問題を解決しましょう。関数が与えられています。方程式が成り立つかどうかを見つける必要があります。y = f(x) = 3 sin(x) + 7 cos(5x)f" + f = -5cos(2x)

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します-

syms　x
y　=　3*sin(x)+7*cos(5*x); % 函数を定義中
lhs = diff(y,2)+y; % 方程式のlhsを評価中
rhs =　-5*cos(2*x); % 方程式のrhs
if(isequal(lhs,rhs))
　　　disp('はい、方程式は真実です');
else
　　　disp('いいえ、方程式は真実ではありません');
end
disp('LHSの値は:　'),　disp(lhs);

実行ファイル中に次の結果が表示されます-

いいえ、方程式は真実ではありません
LHSの値は:　
-168*cos(5*x)

以下は上述計算のOctave相当-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
y　=　3*Sin(x)+7*Cos(5*x); % 定义函数
lhs = differentiate(y, x,　2)　+　y; % 计算方程 lhs
rhs =　-5*Cos(2*x); % 方程式 rhs
if(lhs == rhs)
　　　disp('はい、方程式は真実です');
else
　　　disp('いいえ、方程式は真実ではありません');
end
disp('LHSの値は:　'),　disp(lhs);

Octaveを実行コードとして実行し、以下の結果を返します-

いいえ、方程式は真実ではありません
LHSの値は:　
-(168.0)*cos((5.0)*x)

曲線の最大値と最小値を求める

図形の局部的な最大値と最小値を検索する場合、基本的には関数の図形上の特定の場所または符号変数の特定の範囲内で最高点または最低点を見つけることになります。

関数y = f(x)において、図上に接続率が0の点は、stationary points（静止点/临界点）。つまり、固定点はf'(x)= 0です。

微分的関数の安定点を見つけるために、微分をゼロに設定し、方程式を解く必要があります。

例

固定点f(x)を見つけるために、関数の微分をゼロに設定し、方程式を解きます。 2x ³ + 3x ² − 12x + 17

以下の手順を踏んでください-

まず、関数に入り、そのグラフを描きます。

syms　x
y　=　2*x^3　+　3*x^2　-　12*x　+　17;　　　%定義関数
ezplot(y)

MATLABを実行コードとして実行し、以下のグラフを返します-

这是上述示例的Octave相当コード-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym('x');
y　=　inline("2*x^3　+　3*x^2　-　12*x　+　17");
ezplot(y)
print　-deps　graph.eps

私たちの目的は、図上に局部的な最大値と最小値を見つけることですので、以下の範囲内を見つけます[-2、2]の局部的な最大値と最小値。

syms　x
y　=　2*x^3　+　3*x^2　-　12*x　+　17;　　　%　defining　the　function
ezplot(y,　[-2,　2])

MATLABを実行コードとして実行し、以下のグラフを返します-

这是上述示例的Octave相当コード-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym('x');
y　=　inline("2*x^3　+　3*x^2　-　12*x　+　17");
ezplot(y,　[-2,　2])
print　-deps　graph.eps

接下来，让我们计算导数。

g　=　diff(y)

MATLABがコードを実行し以下の結果を返します-

g　=
　　　6*x^2　+　6*x　-　12

这是上述计算的倍频程-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
y　=　2*x^3　+　3*x^2　-　12*x　+　17;
g　=　differentiate(y,x)

Octaveを実行コードとして実行し、以下の結果を返します-

g　=
　　　-12.0+(6.0)*x+(6.0)*x^(2.0)

让我们求解导数函数g，得到它变为零的值。

s　=　solve(g)

MATLABがコードを実行し以下の結果を返します-

s　=
　　　1
　　　-2

以下は上述計算のOctave相当-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
y　=　2*x^3　+　3*x^2　-　12*x　+　17;
g　=　differentiate(y,x)
roots([6,　6,　-12])

Octaveを実行コードとして実行し、以下の結果を返します-

g　=
-12.0+(6.0)*x^(2.0)+(6.0)*x
ans　=
　　-2
　　　1

これは私たちのグラフと一致しており、したがって、临界点 x = 1,-2来計算関数 f。

subs(y,　1),　subs(y,　-2)

MATLABがコードを実行し以下の結果を返します-

ans　=
　　　10
ans　=
　　　37

以下は上述計算のOctave相当-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
y　=　2*x^3　+　3*x^2　-　12*x　+　17;
g　=　differentiate(y,x)
roots([6,　6,　-12])
subs(y,　x,　1),　subs(y,　x,　-2)

ans　=
　　　10.0
ans　=
　　　37.0-4.6734207789940138748E-18*I

したがって、関数の最小値と最大値f(x)は= 2x ³ + 3x ² − 12x + 17、[-2,2]範囲内に10および37。

微分方程式を解く

MATLABはdsolve微分方程式を符号的に解くためのコマンドです。

dsolve単一の方程式の解を探すコマンドの最も基本的な形式は

dsolve('eqn')

その中でeqnは方程式を入力するためのテキスト文字列です。

それは任意の常数のセットを持つ符号的な解を返し、MATLABはそれをCと示します1，C2等。

問題の初期条件および境界条件を、等式の後のカンマ区切りのリストとして指定することもできます-

dsolve('eqn','cond1',　'cond2',…)

dsolveコマンドを使用するためには、導数はDで表されます。例えば、f'(t)= -2 * f +このような方程式cost(t)は以下のように入力されます-

'Df = -2*f + cos(t)'

高階導数はDの後の導数の順序で表されます。

例えば、方程f“(x)+ 2f'(x)= 5sin3xは以下のように入力されるべきです-

'D2y + 2Dy = 5*sin(3*x)'

一階微分方程の簡単な例として、y'= 5y。

s　=　dsolve('Dy　=　5*y')

MATLABがコードを実行し以下の結果を返します-

s　=
　　　C2*exp(5*t)

二階微分方程の別の例として、y“-y = 0，y= -1，y'= 2。

dsolve('D2y　-　y　=　0','y(0)　=　-1','Dy(0)　=　2)

MATLABがコードを実行し以下の結果を返します-

ans　=
　　　exp(t)/2　-　(3*exp(-t))/2