MATLAB 微積分

MATLABは微分と積分の問題を解くための様々な方法を提供しており、任意の度の微分方程式を解くことや極限を計算することができます。最も重要なのは、複雑な関数の図を簡単に解き、元の関数やその導数を用いて図上の最大値、最小値などの重要点を確認することができます。

この章では微積分の問題について議論します。この章では、関数の極限を計算し、極限の性質を確認する予演算の概念についても議論します。

次の章の微分では、表現式の微分を計算し、グラフの局所的な最大値と最小値を求めます。また、微分方程式の解決についても議論します。

最後に、「積分章で、積分演算について議論します。

極限を計算する

MATLABはlimit極限を計算するための関数。limit関数は最も基本的な形式で表現式を引数として受け取り、変数が0に近づいたときに表現式の極限を見つけます。

例えば、関数の極限f(x)=(x ³ + 5）/(x ⁴ + 7），因為xが0に近づきます。

syms　x
limit((x^3　+　5)/(x^4　+　7))

MATLABは上記の文を実行し、以下の結果を返します-

ans　=
　　　5/7

極限関数はシンボル計算の領域に属します。以下を使用する必要がありますsyms関数を使用してMATLABにどのシンボル変数を使用しているかを伝えます。また、変数が0除し以外の数字に近づくときに関数の極限を計算することもできます。limを計算するために _{x-> a}（f(x)）を用いて、limitコマンドの引数としてパラメータを使用します。一つ目は表現式で、二つ目はxの近似の数字、これはa。

例えば、関数の極限f(x)=(x-3)/(x-1)，因為xが1。

limit((x　-　3)/(x-1,1)

MATLABは上記の文を実行し、以下の結果を返します-

ans　=
　　　NaN

次に、一つの例をもう一つ挙げます

limit(x^2　+　5,　3)

MATLABは上記の文を実行し、以下の結果を返します-

ans　=
　　　14

Octaveを使用して極限を計算します

以下にsymbolic包の上記の例のOctaveバージョンを試行して結果を比較してください-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

Octaveは上記の文を実行し、以下の結果を返します-

ans　=
　　　0.7142857142857142857

極限の基本的な性質の確認

代数極限定理は極限のいくつかの基本的な性質を提供します。以下に示します-

次に、二つの関数を見てみましょう-

• f(x) =（3x + 5）/(x-3)

• g(x)= x ² +1。

次に、二つの関数のxが5の関数の極限を使用し、これらの関数とMATLABで極限の基本的な性質を確認します。

例

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します-

syms　x
f　=　(3*x　+　5)/(x-3]);
g　=　x^2　+　1;
l1　=　limit(f,　4)
l2　=　limit　(g,　4)
lAdd　=　limit(f　+　g,　4)
lSub　=　limit(f　-　g,　4)
lMult　=　limit(f*g,　4)
lDiv　=　limit　(f/g,　4)

ファイルを実行すると、以下のように表示されます-

l1　=
　　　17
　　
l2　=
　　　17
　　
lAdd　=
　　　34
　
lSub　=
　　　0
　　
lMult　=
　　　289
　　
lDiv　=
　　　1

Octaveを使用して極限の基本的な性質を確認します

以下にsymbolic包の上記の例のOctaveバージョンを試行して結果を比較してください-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
f　=　(3*x　+　5)/(x-3]);
g　=　x^2　+　1;
l1　=　subs(f,　x,　4)
l2　=　subs　(g,　x,　4)
lAdd　=　subs　(f+g,　x,　4)
lSub　=　subs　(f-g,　x,　4)
lMult　=　subs　(f*g,　x,　4)
lDiv　=　subs　(f/g,　x,　4)

Octaveは上記の文を実行し、以下の結果を返します-

l1　=
　　　17.0
l2　=
　　　17.0
lAdd　=
　　　34.0
lSub　=
　　　0.0
lMult　=
　　　289.0
lDiv　=
　　　1.0

左右限界

関数が特定の値の変数に対して不連続性を持つ場合、そのときは限界が存在しません。別の言い方をすると、関数の限界f(x)はx = aで不連続であるため、xが左側からxに近づくときの限界値がxが右側からxに近づくときの限界値と異なるという理由です。

これが左端极限と右端极限の概念を生み出します。左端极限は、xから左側に始まる极限、つまりx-> a、つまりxがaに近づくとき、x<aの値です。右端极限は、xから右側に始まるx-> aの极限、つまりx> aの値に近づくxの値です。左端极限と右端极限が等しくない場合、その极限は存在しません。

関数を見てみましょう-

f(x) = (x - 3)/|x - 3|

limを表示します _{x-> 3} f(x)は存在しません。MATLABはこの事実を確認するために2つの方法で私たちを助けます-

• 関数の図を描画し、不連続性を表示します。

• 极限を計算し、両者が異なることを表示します。

左端极限と右端极限は、limitコマンドに「left」と「right」の文字列を最後の引数として渡して計算されます。

例

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します-

f　=　(x　-　3)/abs(x-3]);
ezplot(f,[-1,5])
l　=　limit(f,x,3,'left')
r　=　limit(f,x,3,'right')

ファイルを実行すると、MATLABは以下の図を描画します

その後表示する出力-

l　=　limit(f,x,
　　　-1
　　
r　=　limit(f,x,
　　　1